Question

對于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動點(diǎn)。如果函數(shù)有且只有兩個(gè)不動點(diǎn)0，2，且

    （1）求函數(shù)的解析式；

    （2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；

    （3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.

Answer 1

（1）（2）（3）證明見解析

解析:

（1）依題意有,化簡為 由違達(dá)定理, 得

               

解得 代入表達(dá)式，由

得 不止有兩個(gè)不動點(diǎn)，

   

（2）由題設(shè)得     （*）

且          （**）

由（*）與（**）兩式相減得：

   

   

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，；

  （3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知

,有

，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.

    關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上:

    由得<0或

    結(jié)論成立；

  若，此時(shí)從而即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.