Question

【題目】函數(shù).

（1）當時，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，在遞增；當時，在遞增，在上遞減．當時，在遞減．（3）

【解析】試題分析：（1）在的最值只能在和區(qū)間的兩個端點取到，因此，通過算出上述點并比較其函數(shù)值可得函數(shù)在的最值；（2）算出，對的取值范圍分情況討論即可；（3）根據(jù)（2）中得到的單調(diào)性化簡不等式，從而求解不等式，解得的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，∴，

∵的定義域為，∴由，得.……………………2分

∴在區(qū)間上的最值只可能在取到，

而，，，……4分

（2），，

①當，即時，，∴在上單調(diào)遞減；……5分

②當時，，∴在上單調(diào)遞增；…………………………6分

③當時，由得，∴或（舍去）

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；……………………8分

綜上，當時，在單調(diào)遞增；

當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當時，在單調(diào)遞減；

（3）由（2）知，當時，，

即原不等式等價于，…………………………12分

即，整理得，

∴，………………13分

又∵，∴的取值范圍為.……………………14分