Question

【題目】如圖，在棱長為3的正方體中，．

求兩條異面直線與所成角的余弦值；

求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則我們易求出已知中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，的坐標(biāo)．代入向量夾角公式，結(jié)合異面直線夾角公式，即可得到答案．

（2）設(shè)出平面BED1F的一個(gè)法向量為，根據(jù)法向量與平面內(nèi)任一向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造方程組，求出平面BED1F的法向量為的坐標(biāo)，代入線面夾角向量公式，即可求出答案．

解：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示：

則A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）

∴=（-3，3，3），=（3，0，-1）

∴cosθ===-

則兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值為

（2）B（3，3，0），=（0，-3，2），=（3，0，-1）

設(shè)平面BED1F的一個(gè)法向量為=（x，y，z）

由得

令x=1，則=（1，2，3）

則直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值為

||==