Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓的圓心在圓的內(nèi)部，且直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為.點(diǎn)為圓上異于的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)條件設(shè)出圓心及半徑，然后利用弦長(zhǎng)公式求得半徑，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得圓心，從而求得圓的方程；（2）直線(xiàn)的斜率不存在可直接求出定值，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，由此得到直線(xiàn)的方程與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積公式求出定值．

試題解析：（1） 易知點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，故可設(shè),圓的半徑為．

∵直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，且到直線(xiàn)的距離,或.

又圓的圓心在圓的內(nèi)部，

,圓的方程.

（2）證明: 當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí), . 當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率存在時(shí),

設(shè),直線(xiàn)的方程為,令得.

直線(xiàn)的方程為, 令得.

,

故為定值為