Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=${A}_{2}^{1}$+${A}_{2}^{2}$，…，a_n=${A}_{n}^{1}$+${A}_{n}^{2}$+…+${A}_{n}^{n}$（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求a_n與a_n-1之間的關(guān)系式（n∈N^*，n≥2）；
（3）求證：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用排列數(shù)公式，計(jì)算即可得到所求；（2）由排列數(shù)公式，提取n，即可得到所求a_n與a_n-1之間的關(guān)系式；（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論和階乘的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）a₂=${A}_{2}^{1}$+${A}_{2}^{2}$=2+2=4，
a₃=${A}_{3}^{1}$+${A}_{3}^{2}$+${A}_{3}^{3}$=3+6+6=15，
a₄=${A}_{4}^{1}$+${A}_{4}^{2}$+${A}_{4}^{3}$+${A}_{4}^{4}$=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，
a₅=${A}_{5}^{1}$+${A}_{5}^{2}$+${A}_{5}^{3}$+${A}_{5}^{4}$+${A}_{5}^{5}$=5+20+60+120+120=325；
（2）a_n=${A}_{n}^{1}$+${A}_{n}^{2}$+…+${A}_{n}^{n}$=n+n（n-1）+n（n-1）（n-2）+…+n!
=n+n[（n-1）+（n-1）（n-2）+…+（n-1）!]
=n+na_n-1；
（3）證明：由（2）可知$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
所以（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$…$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1+{a}_{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{1}}{n!}$+$\frac{{A}_{n}^{2}}{n!}$+…+$\frac{{A}_{n}^{n}}{n!}$=$\frac{1}{n!}$+$\frac{1}{（n-1）!}$+$\frac{1}{（n-2）!}$+…+$\frac{1}{（n-n）!}$
=$\frac{1}{0!}$+$\frac{1}{1!}$+$\frac{1}{2!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+1+$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$
=2+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=3-$\frac{1}{n}$＜3（n≥2）．
所以n≥2時(shí)不等式成立，而n=1時(shí)不等式顯然成立，所以原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和和通項(xiàng)，考查排列的定義和運(yùn)算，同時(shí)考查階乘的運(yùn)用和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．