Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，．

（1）證明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，證明且平分得到答案.

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)，計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算法向量，利用二面角公式計(jì)算得到答案.

證明：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)閭?cè)面為菱形，

所以，

且為與的中點(diǎn)，

又，,

所以平面.

由于平面，

故.

又，

故.

（2）因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

故，

從而兩兩相互垂直，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>，

所以為等邊三角形，

設(shè)，

則，

，

設(shè)是平面的法向量，則

，

即，

所以.

設(shè)是平面的法向量，

則，

同理可取，

，

所以二面角的余弦值為-.