Question

【題目】如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．

（1）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C；

（2）設(shè)二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC⊥側(cè)面A1C

∴EN⊥側(cè)面A1C

NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影

在直角三角形CNF中，CN=1

則由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME

由（1）可知EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ

設(shè)∠FAC=α則0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故當(dāng)α=45°時(shí)，tanθ達(dá)到最小值，

tanθ=，此時(shí)F與C1重合