Question

【題目】已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，射線(xiàn)于橢圓交于點(diǎn)，設(shè)的面積于的面積分別為.

①求的最大值；

②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為、圓心到直線(xiàn)距離等于半徑，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓 的方程；(2) 直線(xiàn)與圓相切得： ，將直線(xiàn)代入橢圓的方程得： ①根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結(jié)果；②當(dāng)取得最大值時(shí)， ， .

試題解析：(1)依題直線(xiàn)的斜率.設(shè)直線(xiàn)的方程為,

依題有：

(2)由直線(xiàn)與圓相切得： .

設(shè).將直線(xiàn)代入橢圓的方程得：

,且.

設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,故的面積為：

,

當(dāng).等號(hào)成立.故的最大值為1.

設(shè)，由直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，可得，

.

.,

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值，屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.