Question

12．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{（a+4）^{2}}$=1（a＞0）的離心率的最大值是$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 由題意得到橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，從而求得c²，然后利用判別式法求得e²的范圍，進(jìn)一步求得e的最大值．

解答 解：∵a＞0，∴（a+4）²-a²-1=8a+15＞0，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{（a+4）^{2}}$=1（a＞0）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
∴c²=8a+15，
則${e}^{2}=\frac{8a+15}{（a+4）^{2}}=\frac{8a+15}{{a}^{2}+8a+16}$，
∴e²a²+8（e²-1）a+16e²-15=0．
由△=64（e²-1）²-4e²（16e²-15）≥0，得$-\frac{4\sqrt{17}}{17}≤e≤\frac{4\sqrt{17}}{17}$．
∵e＞0，0$＜e≤\frac{4\sqrt{17}}{17}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了利用判別式法求函數(shù)的值域，是中檔題．