Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，且S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=$\frac{3}{2}$S_n+1，∴當(dāng)n≥2時，${S}_{n}=\frac{3}{2}{S}_{n-1}$+1，可得a_n+1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$，
又a₁+a₂=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1，解得a₂=$\frac{3}{2}$，∴${a}_{2}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{3}{2}$．
∴a_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{2}{3}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．