Question

設(shè)函數(shù) 

 (1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

(2)令，（）

其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

解: （1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)時(shí)，，

……………3分

令=0，解得．（∵）

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值 ……………5分

(2），，則有≤，在上恒成立，所以≥，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥………9分

(3)因?yàn)榉匠?img width=84 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/01/05/01/2013010501125047695691.files/image198.gif' >有唯一實(shí)數(shù)解，

所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，

則．令，．

因?yàn)?img width=41 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/01/05/01/2013010501125047695691.files/image204.gif' >，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．

則即……………11分

所以，因?yàn)?img width=41 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/01/05/01/2013010501125047695691.files/image204.gif' >，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?img width=55 height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/01/05/01/2013010501125047695691.files/image223.gif' >，所以方程（*）的解為，即，

解得……………14分