Question

11．已知函數(shù)f（x）=xlnx的圖象上有A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1）且滿足f（x₁）=f（x₂），若k=5（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），且k為整數(shù)時(shí)，則k的值為（　�。�（參考數(shù)據(jù)：e≈2.72）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f′（x）=1+lnx，x＞0，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，由x₁lnx₁=x₂lnx₂，得0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂＜1，由由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\frac{1}{e}$，${x}_{2}＞\frac{2}{e}-{x}_{1}$，得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{2}{e}$，由此能求出k為整數(shù)時(shí)，k的值．

解答 解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
∵函數(shù)f（x）=xlnx的圖象上有A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1）且滿足f（x₁）=f（x₂），
∴x₁lnx₁=x₂lnx₂，
（0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂＜1），如圖所示，
由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\frac{1}{e}$，${x}_{2}＞\frac{2}{e}-{x}_{1}$，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+（\frac{2}{e}-{x}_{1}）}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}（\frac{2}{e}-{x}_{1}）}$=$\frac{1}{e}+\sqrt{\frac{2}{e}{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵t=$\frac{1}{e}+\sqrt{\frac{2}{e}{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}$關(guān)于x₁單調(diào)遞減，0＜x₁＜$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{2}{e}$，∴5（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜$\frac{10}{e}≈3.7$，
∴k≤3．
∴k為整數(shù)時(shí)，則k的值為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查整數(shù)的取值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．