Question

【題目】已知分別是橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心、3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的交點(diǎn)在橢圓上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：根據(jù)題意列方程，利用待定系數(shù)法解方程求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二步設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，滿(mǎn)足橢圓方程作為條件（1），寫(xiě)出直線(xiàn)AP、BP的方程，表示點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，得到和 的長(zhǎng)的表達(dá)式，兩者相乘，代入條件（1）并化簡(jiǎn)所得的積，化簡(jiǎn)后恰好為.

試題解析：

（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）由（1）及題意可畫(huà)圖，如圖，不妨令．設(shè)，則．

令，得，從而；直線(xiàn)的方程為，

令，得，從而．

所以

．

當(dāng)時(shí)， ,

所以,綜上可知．