Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點在底面上的射影為底面的中心點，點在棱上，且的面積為1．

（1）若點是的中點，求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在一點使得二面角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點符合題意，點為棱靠近端點的三等分點

【解析】

（1）利用等腰三角形“三線合一”證明平面,進而證明平面平面；

（2）分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,利用平面的法向量求二面角,進而計算得到即可

（1）∵點在底面上的射影為點,∴平面,

∵四邊形是邊長為的正方形,∴,

∵三角形的面積為1,∴,即,∴,

∵,點是的中點,

∴,同理可得,

又因為,平面,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面

（2）存在,

如圖,連接,易得兩兩互相垂直,

分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,

則,假設存在點使得二面角的余弦值為,

不妨設,

∵點在棱上,∴,

又,

∴,

∴,

,,

設平面的法向量為,則,∴,

令,可得,∴平面的一個法向量為,

又平面的一個法向量為,二面角的余弦值為,

∴,即,

解得或（舍）

所以存在點符合題意,點為棱靠近端點的三等分點