Question

7．已知f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx．
（1）把函數(shù)化為f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式即可解得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)值域；
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
（2）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴函數(shù)y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的值域是：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：k$π-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．