Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn) 的點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在直線，使得

【解析】

（1）由題意求出a，通過(guò)離心率求出c，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，利用垂徑定理求出，從而整理即可得到結(jié)果.

（1）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上，令，得，所以，

又離心率為，所以，所以，

所以，

所以的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得

化簡(jiǎn)得到，

因?yàn)?/span>為方程的一個(gè)根，

所以，所以，

所以.

因?yàn)閳A心到直線的距離為，

所以，

因?yàn)?/span>，

代入得到，

顯然，所以不存在直線，使得.