Question

已知f（x）=-

1 x2 +4

（x＞0）．
（1）a₁=1，

1

an+1

=-f（a_n），n∈N^*，求{a_n}的通項；
（2）設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_2n+1-S_n，是否存在整數m，對一切n∈N^*，都有b_n＜

m

25

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的應用

專題：計算題,存在型,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據遞推數列，利用構造法即可證明數列{

1

an2

}是首項為1，公差為4的等差數列，由等差數列的通項公式即可得到；
（2）求出{a_n²}的通項公式，判斷{S_2n+1-S_n}的單調性，即可求正整數m的最小值．

解答： 解：（1）a₁=1，

1

an+1

=-f（a_n）=

1 an2 +4

，
即有

1

an+12

-

1

an2

=4，
即數列{

1

an2

}是首項為1，公差為4的等差數列，
則

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，
故a_n=

1 4n-3

；
（2）由于a_n²=

1

4n-3

，
由于b_n=S_2n+1-S_n，
則b_n-b_n+1=（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，
數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
若

14

45

≤

m

30

，
∴m≥

28

3

，
又∵m是正整數，
∴m的最小值為10．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列前n項和的求法，考查實數的最小值的求法，解題時要認真審題，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．