Question

【題目】已知函數(shù)，其中k∈R.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)k∈[1，2]時(shí)，求函數(shù)在[0，k]上的最大值的表達(dá)式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析過程；（2），，.

【解析】

（1）求出，分別討論，，時(shí)正負(fù)情況即可；

（2）判斷函數(shù)在[0，k]上單調(diào)性，求出，再利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.

（1），

當(dāng)時(shí)，令得，令得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，令得，或，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)或；當(dāng)時(shí)；的單調(diào)遞增區(qū)間為；減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，的單調(diào)遞增區(qū)間為為；減區(qū)間為.

令，，

故在上單調(diào)遞減，故，

所以當(dāng)[0，k]時(shí)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；

故函數(shù)

由于

對(duì)于，，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

故.

當(dāng)時(shí)由（1）知；的單調(diào)遞增區(qū)間為；所以當(dāng)[0，k]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故.

綜上所述：函數(shù)在[0，k]上的最大值為，

，由于，

∴對(duì)恒成立

∴在上為增函數(shù).

∴.