Question

已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項

Answer 1

解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁=3.

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2).

當a₁=3時,a₃=13,a₁₅=73. a₁, a₃,a₁₅不成等比數列∴a₁≠3;

當a₁=2時, a₃=12, a₁₅=72, 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3.