Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓O交x軸于點F1，F2，交y軸于點B1，B2．以B1，B2為頂點，F1，F2分別為左、右焦點的橢圓E，恰好經(jīng)過點．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點（﹣2，0）的直線l與橢圓E交于M，N兩點，求△F2MN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）最大值．

【解析】

(1)根據(jù)題意分析橢圓中基本量的關(guān)系,再代入求解即可.

(2)設(shè)直線,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,代入韋達定理求得弦長的解析式,再求解到的距離,進而表達出面積的表達式,換元后利用二次不等式的方法求最值即可.

（1）由已知可得,橢圓E的焦點在x軸上.

設(shè)橢圓E的標準方程為,焦距為2c,則b＝c,

∴a2＝b2+c2＝2b2,∴橢圓E的標準方程為.

又橢圓E過點,∴,解得b2＝1.

∴橢圓E的標準方程為.

（2）由于點（﹣2,0）在橢圓E外,所以直線l的斜率存在.

設(shè)直線l的斜率為k,則直線l：y＝k（x+2）,設(shè)M（x1,y1）,N（x2,y2）.

由消去y得,（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0.

由△＞0得,從而,

∴.

∵點F2（1,0）到直線l的距離,

∴△F2MN的面積為.

令1+2k2＝t,則t∈[1,2）,

∴,

當即時,S有最大值,,此時.

所以,當直線l的斜率為時,可使△F2MN的面積最大,其最大值.