Question

7．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，則∠AOP=（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意建立平面直角坐標系，得到$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$的坐標，由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$求得$\overrightarrow{OP}$的坐標，再由數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：由題意建立如圖所示直角坐標系，
則$\overrightarrow{OA}$=（3，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3，0）+（0，1）=（$\sqrt{3}，1$）．
∴cos∠AOP=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|}=\frac{3\sqrt{3}}{3×2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠AOP=$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查由數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．