Question

10．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解方程，分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；
（2）分類討論，求導(dǎo)，對導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0
又∵f（$\frac{1}{2}$）=2-ln2
∴f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值．
（2）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（2-a）x-1}{{x}^{2}}$
當(dāng)a=0時，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）＜0 得0＜x＜$\frac{1}{2}$；令f′（x）＞0 得x＞$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）＜0 得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＞0 得x＞$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a＜-2時，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0 得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)-2＜a＜0時，得-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0 得$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{a}$；
當(dāng)a=-2時，f′（x）=-$\frac{（2x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
綜上所述，當(dāng)a=0時，f（x）的遞減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞），遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)a＜-2時f（x）的遞減區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞），遞增區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)-2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{a}$，+∞），遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）．

點評 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和最值問題，在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，體現(xiàn)了分類討論的思想方法；恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．屬難題．