Question

【題目】已知n為給定的正整數，t為給定的實數，設(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.

（1）當n=8時.

①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值；

②若t=，求數列{an}中的最大值；

（2）若t=，當時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①128，②；（2）

【解析】

（1）①設f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）] ÷2即可得解；

②，通過不等式組即可得解；

（2）處理，利用二項式定理逆用即可得解.

（1）設f（x）=(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

當n=8時.

①若t=1，f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，

a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）]÷2=128

②若t=，(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

所以，設第r項最大，則，

解得，所以

數列{an}中的最大值

（2）若t=，當時，求的值.

(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

當時，

，

當n=1時也滿足，所以.