Question

【題目】已知橢圓的左頂點為A，O為坐標原點，，C的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知不經過點A的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的中點為B，若，求證：直線l過定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為，由，求得的值，進而得到的值，得出橢圓的方程；

（Ⅱ）聯(lián)立方程組，得，利用根與系數(shù)的關系，求得，，再結合向量的數(shù)量積的運算公式，列出方程求得的值，代入驗證，即可求解．

（Ⅰ）由已知，所以，

設橢圓C的半焦距為，因為，所以，所以，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由題意知，

聯(lián)立，整理得，

由題意知．（*）

設，，則，，

因為，B為線段MN的中點，所以，

所以，

又，，，

所以，

所以，

整理得，得或，

當時，l的方程為，過定點，不符合題意；

當時，l的方程為，

過定點，經檢驗，符合（*）式，

綜上所述，直線l過定點．