Question

10．設A、B是焦點為F（1，0）的拋物線y²=2px（p＞0）上異于坐標原點的兩點，若$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=0，則坐標原點O（0，0）到直線AB距離的最大值為4．

Answer 1

分析 設直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程消去x，求得y₁+y₁．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由•=x₁x₂+y₁y₂整理可得（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，求得b的值，再根據(jù)原點到直線AB的距離為判斷當m=0時距離最大，進而求得答案．

解答 解：∵焦點為F（1，0）的拋物線y²=2px（p＞0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2，
即y²=4x，
設直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程可得y²-4my-4b=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OA}$?$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mb（y₁+y₂）+b²=（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直線AB的方程為x=my+4，原點到直線AB的距離為d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
當m=0時，d_最大值=4．
故答案為：4．

點評 本題考查拋物線方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用韋達定理是關鍵．