Question

【題目】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．

（1）求拋物線的方程；

（2）與平行的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若平行線，之間的距離為，且的面積是面積的倍，求和的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，．

【解析】

（1）設(shè)直線方程為，代入得，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式可得圓的直徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程求解即可得到拋物線的方程；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合三角形面積公式可得，同理可得，利用 的面積是面積的倍列方程求解即可.

（1）設(shè)AB直線方程為代入得

設(shè)∴

當(dāng)時(shí)，，AB的中點(diǎn)為

依題意可知，解之得

拋物線方程為.

（2）O到直線的距離為，

.

因?yàn)槠叫芯�之間的距離為，則CD的直線方程為

.

依題意可知，即

化簡(jiǎn)得，∴代入

∴或者.