Question

【題目】函數(shù) ．
（1）求函數(shù) 的最大值；
（2）對于任意 ，且 ，是否存在實數(shù) ，使 恒成立，若存在求出 的范圍，若不存在，說明理由；
（3）若正項數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 的前 項和為 ，試判斷 與 的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解： ,
則 ，
所以 函數(shù)單調(diào)遞減， 函數(shù)單調(diào)遞增．
從而
（2）解：若 恒成立，
則 ，
設(shè)函數(shù) ，又 ，
則只需函數(shù) 在 上為單調(diào)遞減函數(shù)，
即 在 上恒成立，
則 ，
記 ，則 ，從而 在 上單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，
故 ，
則存在 ，使得不等式恒成立
（3）解：由 ．
即 ，由 ，得 ，
因為 ，由（1）知 時， ，
故 ，
即
【解析】(1)首先求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可求出原函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值。(2)根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，即可得到 φ ′ ( x ) ≤ 0 恒成立，分離出參數(shù)m后化為求函數(shù)最值即可并利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值。(3)整理數(shù)列的代數(shù)式求出數(shù)列 { an}的通項公式根據(jù)題意代入即可得到 a n> ln ( an + 1 )，進而得到Sn的表達(dá)式結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)由裂項相消法即可得出結(jié)果。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系．