Question

在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式：恒成立，其中常數(shù)．
（1）求的值；         （2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）如果關(guān)于的不等式的解集為，試求實(shí)數(shù)、的取值范圍．

Answer 1

（1），（2）當(dāng)時(shí)，，   ①得 ②將①，②兩式相減，得, 化簡(jiǎn)，得，其中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/f/1hi6m2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其中．因?yàn)?為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列（3），

解析試題分析：（Ⅰ）　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/3/fton51.png" style="vertical-align:middle;" />，       
所以，，            
解得 ，．          3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，   ①
得，           ②
將①，②兩式相減，得,  
化簡(jiǎn)，得，其中．         5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/f/1hi6m2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其中．      6分
因?yàn)?為常數(shù)，   
所以數(shù)列為等比數(shù)列．    8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，     9分
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/f/1hi6m2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以原不等式可化簡(jiǎn)為，1 0分
當(dāng)時(shí)，不等式，
由題意知，不等式的解集為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以只要求 且即可，
解得；   12分
當(dāng)時(shí)，不等式，
由題意，要求不等式的解集為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/46/8/1tceu2.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以如果時(shí)不等式成立，那么時(shí)不等式也成立，
這與題意不符，舍去．
綜上所述：，．        14分
考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)，等比數(shù)列的判定及不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化
點(diǎn)評(píng)：判定數(shù)列是等比數(shù)列常采用定義法，即判定相鄰兩項(xiàng)之比是否為常數(shù)；由數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)采用關(guān)系式，第三問(wèn)的不等式恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)化思路經(jīng)常用到