Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，是的中點，E是棱上一動點．

（1）若E是棱的中點，證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）是否存在點E，使得，若存在，求出E的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在，理由詳見解析．

【解析】

（1）取中點為，連結，證明，再利用線面平行判定定理，即可證得結論；

（2）先證明兩兩垂直，再建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面ABC的法向量為，再利用向量的夾角公式，即可得答案；

（3）設，由，解得與假設矛盾，從而得到結論.

（1）證明：取中點為，連結，

在中，因為為的中點，

所以且．

又因為是的中點，，

所以且，

所以為平行四邊形

所以．

又因為平面， ．

平面，

所以平面．

（2）連結，

因為是等邊三角形，是的中點，

所以，

因為，，

所以．

因為平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以兩兩垂直．

如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，

，

設平面的法向量為，

則，

即，

令，則，，

所以．

平面ABC的法向量為，

．

又因為二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．

（3），，

設，

則，

所以，，

所以，

假設，

則，解得，

這與已知矛盾．不存在點E.