Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由題意確定函數(shù)定義域，對函數(shù)求導，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；

（2）先由不等式恒成立得到，因為，因此只需即可；令，用導數(shù)的方法求出函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)果.

（1）由題意得，函數(shù)的定義域為，

.

若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則，故當時，，當時，.

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

若，則，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2），.

又，若，則.

令，則，

令，解得.

當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，解得.

當時，存在，使得成立，

這與矛盾，，

又，故實數(shù)的取值范圍為.