Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-1）
（1）畫出f（x）的圖象，并求出f（x）的解析式．
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求出f（x）的解析式．
（2）結(jié)合函數(shù)的解析式即可不等式f（x）＜0的解集．

解答 解：（1）若x≤0，則-x≥0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x-1）
∴當(dāng)-x≥0時(shí)，f（-x）=-x（-x-1），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即f（-x）=-x（-x-1）=f（x），
則f（x）=-x（-x-1）=x（x+1），x≤0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1），}&{x≥0}\\{x（x+1），}&{x＜0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的圖象如圖：．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）＜0得x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，
當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）＜0得x（x+1）＜0，解得-1＜x＜0，
綜上0＜x＜1或-1＜x＜0，
即不等式的解集為（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．