Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列列式求得a₁=1．代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n．利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，由S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
得$（2{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（4{a}_{1}+6d）$，
即$（2{a}_{1}+2）^{2}={a}_{1}（4{a}_{1}+12）$，
解得：a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則T_n=2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．