Question

如圖，正方形ABCD所在平面與直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AE⊥AB，設M，N分別是DE，AB的中點，已知AB=2，AE=1
（Ⅰ）求證：MN∥平面BEC；
（Ⅱ）求點E到平面BMC的距離．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,作圖題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取EC中點F，連接MF，BF．由線線平行證明線面平行，（Ⅱ）將體積等價轉(zhuǎn)化，求出體積，再求出底面面積，從而求高，得距離．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取EC中點F，連接MF，BF．
∵MF為△CDE的中位線，
∴MF∥CD，MF=

1

2

CD；
又∵NB∥CD，NB=

1

2

CD，
∴NB∥MF，NB=MF
∴四邊形NBFM為平行四邊形，
∴MN∥BF，又∵BF⊆平面BEC，MN?平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
（Ⅱ）∵MN∥平面BEC，
∴VE-BMC=VM-BEC=VN-BEC=VC-BEN=

1

3

S△BEN•CB=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

∵AB⊥AD，AB⊥AE，
∴AB⊥平面EAD，
∴AB⊥AM，
則MB=

MA2+AB2

=

( 1 2 DE)2+AB2

=

( 5 2 )2+22

=

21

2

∵CD∥AB，
∴CD⊥平面EAD，故CD⊥DM，
則MC=

MD2+DC2

=

( 1 2 DE)2+DC2

=

( 5 2 )2+22

=

21

2

在△BMC中，MB=MC=

21

2

，BC=2，
∴S△BMC=

1

2

•BC•

MB2-( 1 2 BC)2

=

1

2

×2×

21 4 -1

=

17

2

∴VE-BMC=

1

3

S△BMC•h=

1

3

（其中h表示點E到平面BMC的距離），
即

1

3

×

17

2

×h=

1

3

，
解得，h=

2 17

17

，
即點E到平面BMC的距離為

2

17

17

．

點評：本題綜合考查了空間中線面的位置關系及距離問題，屬于中檔題．