Question

設(shè)

(Ⅰ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時，的極小值為，求的解析式。

(Ⅱ)若，是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意知，函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義可求出，由函數(shù)在處取得極小值為，可得，，進(jìn)而求出在，一般地，多項(xiàng)式函數(shù)為奇函數(shù)，則偶次項(xiàng)系數(shù)為0，連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，但連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，則該處不一定取得極值，所以用以上方法求出函數(shù)解析式后，還需進(jìn)行驗(yàn)證；(Ⅱ)函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，所以問題又轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，本題導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，其恒成立問題可用判別式判斷，也可分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題.

試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122309013606031872/SYS201312230912098747322992_DA.files/image005.png">的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以有即，       1分

所以，

所以，

所以      3分

由，  依題意，，  ，

解之，得      6分

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意       7分

故所求函數(shù)的解析式為.

(Ⅱ)當(dāng)時，，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122309013606031872/SYS201312230912098747322992_DA.files/image005.png">是上的單調(diào)函數(shù)，所以恒成立，

即恒成立       8分

即成立，所以      12分

考點(diǎn)：奇函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值.