Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，焦距為2，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓與拋物線的方程；

（2）直線經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，與拋物線分別交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），（異于點(diǎn)），證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（2）見試題解析．

【解析】

（1）由題意可得，的值，運(yùn)用，求得，可得橢圓的方程.由拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，求得，即可得拋物線的方程.

（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，消去，可得，設(shè)，，，，即，，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立即，則，為方程兩根，解得，同理，計(jì)算即可.

（1）由題意可知，，即，，

橢圓的方程為

拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)

即

拋物線的方程為.

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，

則，即

直線與拋物線交于，兩點(diǎn)

，解得且

設(shè)，，，則，為方程的兩根，即，

直線方程為：，直線方程為：

將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立

即，則與是該方程兩根.

所以，即

同理：直線方程為：時

所以，直線的斜率為定值.