Question

【題目】設(shè)，動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2p，記動(dòng)圓圓心C的軌跡為E．

Ⅰ求軌跡E的方程；

Ⅱ求證：在軌跡E上存在點(diǎn)A，B，使得為坐標(biāo)原點(diǎn)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】Ⅰ ，． Ⅱ詳見(jiàn)解析。

【解析】

（I）通過(guò)被軸截得弦長(zhǎng)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)，構(gòu)造出圓心滿足的方程，整理可得軌跡方程；（II）通過(guò)假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)以及，可求得直線的方程，將方程與軌跡聯(lián)立，可表示出點(diǎn)坐標(biāo)；從而可表示出，再通過(guò)構(gòu)造出函數(shù)，通過(guò)零點(diǎn)存在定理說(shuō)明存在零點(diǎn)，從而得到存在，從而證得結(jié)論。

（I）設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為r，

圓C過(guò)點(diǎn)，，

圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為2p，，

由，得，化簡(jiǎn)，得，，

軌跡E的方程為，．

（II）證明：設(shè)，，則OA的斜率，

，的斜率，

直線AB的方程為，

聯(lián)立直線AB與拋物線E的方程，得：

，解得，

，

，

記，，，，則，，

記，，

由題意，記，，

，，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，存在，使得，從而，

當(dāng)滿足時(shí)，有，

此時(shí)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

在軌跡E上存在點(diǎn)A，B，使得為坐標(biāo)原點(diǎn)是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形