Question

18．若0＜m＜n＜2，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列各式中一定成立的是（　　）

• A． meⁿ＜ne^m
• B． meⁿ＞ne^m
• C． mlnn＞nlnm
• D． mlnn＜nlnm

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x），g（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性比較即可

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0在（0，2）上恒成立，
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，
∴f（m）＜f（n），
∴$\frac{lnm}{m}$＜$\frac{lnn}{n}$，
即mlmn＞nlnm，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∵0＜m＜n＜2，
∴無法比較g（m）與g（n）的大小，
即無法判斷meⁿ與ne^m的大小，
故選：D

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題