Question

【題目】設(shè)公差大于0的等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 .已知 ，且 ， ， 成等比數(shù)列.記數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 .
（1）求 ；
（2）若對(duì)于任意的n ，k 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)公差為d，即 即 ①
∵ , , 成等比數(shù)列， ∴ 即 即3d=2 ②
由①②得 ,d=2
∴ ，n
∴
∴
（2）解：k 即
∵ ，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)
∴
【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和a1,a4,a13成等比數(shù)列可得a1和d的值，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可得到Tn的值。
（2）將Tn和an代入，把k挪到不等式的一側(cè)，利用均值不等式可以得到不等式另一側(cè)的最小值，故k要小于162.