Question

2．已知f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x），則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 可令x（1+x）=2，根據(jù)x≥0從而解得x=1，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性容易判斷f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，這樣便可由f（x）≤2得到f（|x|）≤f（1），根據(jù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增便可得出|x|≤1，從而便可得出滿足f（x）≤2的x的取值范圍．

解答 解：令x（1+x）=2，解得x=1，或-2（舍去）；
x≥0時(shí)，f（x）=x²+x，對稱軸為x=$-\frac{1}{2}$，在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（x）為偶函數(shù)；
∴由f（x）≤2得，f（|x|）≤f（1）；
∴|x|≤1；
∴-1≤x≤1；
∴滿足f（x）≤2的x的取值范圍是[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評 考查一元二次方程的解法，二次函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，以及偶函數(shù)的定義，絕對值不等式的解法．