Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．

（2）若對任意的恒成立，求的值．

（3）在（2）的條件下，記，證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的值為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程；

（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立,令,求得，按照,,分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并注意，得到實(shí)數(shù)的值；

（3）求得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，并根據(jù)零點(diǎn)存在定得到存在唯一的實(shí)數(shù),使得,進(jìn)而分析單調(diào)性，

是的唯一極大值點(diǎn).由，可得到,

利用的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)可以證明最后的結(jié)論.

（1）∵，∴，

當(dāng)時(shí)，，，

切線方程為：,即;

（2）的定義域?yàn)?/span>,對任意的恒成立，等價(jià)于

,即對任意的恒成立,

令,,

當(dāng)時(shí)，在上, 單調(diào)遞減，在上,單調(diào)遞增，

∴恒成立，符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上, 單調(diào)遞增，

注意到，故,不合題意；

時(shí)，在上,單調(diào)遞減，

∴,不合題意，

綜上所述，，所以實(shí)數(shù)的值為.

（3），

，

令，則，

在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，

,又∵，，

∴存在唯一的實(shí)數(shù),使得,

在在內(nèi),單調(diào)遞增，在內(nèi),單調(diào)遞減，在在內(nèi),單調(diào)遞增，

∴是的唯一極大值點(diǎn).

由

,

由于，,證明完畢.