Question

【題目】如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)E、F為棱CD、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面ACF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，易證四邊形是平行四邊形，從而證得，則根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面的一個法向量，和，利用空間向量法，即可求線與平面所成角的正弦值.

解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，

易知，且，

四邊形是平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面；

（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、

所在直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個法向量，

則，即

令，得

，

故：與平面所成角的正弦值為.