Question

已知拋物線方程為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn),，過分別作拋物線的切線，兩切線的交點(diǎn)為.

（1）求的值；

（2）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（3）求△面積的最小值.

 

Answer 1

（1）-8；（2）-2：（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之積即可；（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，聯(lián)立方程，解方程組即得P點(diǎn)縱坐標(biāo)；（3）求弦長和面積，再利用基本不等式求最值.

規(guī)律總結(jié)：直線與拋物線的位置關(guān)系，是高考數(shù)學(xué)的重要題型，其一般思路是聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得到關(guān)于或的一元二次方程，采用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行解答，綜合型較強(qiáng).

試題解析：（1）由已知直線的方程為，代入得，，∴，.

（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過點(diǎn)的切線斜率為，

∴切線方程為，化簡得 ①

同理過點(diǎn)的切線方程為 ②

由，得， ③

將③代入①得，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

（3)設(shè)直線的方程為，

由（1）知，，

∵點(diǎn)到直線的距離為，

線段的長度為

. ，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴△面積的最小值為.

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系.