Question

【題目】某國(guó)建了一座時(shí)間機(jī)器，形似一條圓形地鐵軌道，其上均勻設(shè)置了2014個(gè)站臺(tái)（編號(hào)依次為l，2，…，2014）分別對(duì)應(yīng)一個(gè)年份，起始站及終點(diǎn)站均為第1站（對(duì)應(yīng)2014年）.為節(jié)約成本，機(jī)器每次運(yùn)行一圈，只在其中一半的站臺(tái)停靠，出于技術(shù)原因，每次至多行駛?cè)�站必須停靠一次，且所�？康娜蝺蓚�(gè)站臺(tái)不能是圓形軌道的對(duì)徑點(diǎn).試求不同的�？糠绞降姆N數(shù).

Answer 1

【答案】

【解析】

令.設(shè)不同的�？糠绞焦灿�種.

首先，對(duì)每種�？糠绞剑�定義�？康恼緸�類，未停靠的站為類，則類站與類站一一配對(duì)，組成對(duì)徑點(diǎn).

顯然，不存在相鄰的三個(gè)類站（否則，設(shè)、、為相鄰的類站，則其對(duì)徑點(diǎn)、、為相鄰的類站，機(jī)器沒(méi)有�？浚�與題設(shè)矛盾），且第1站為類，第站為類.

從而，每種�？糠绞綄�(duì)應(yīng)一種第站的分類方式（第站的分類方式由第站的分類方式唯一確定），使得沒(méi)有相鄰三站同類.

接下來(lái)，考慮連續(xù)個(gè)站臺(tái)的分類方式（其中，首尾兩站為類，且沒(méi)有相鄰三站同類）.設(shè)其分類方式種數(shù)為.

顯然，，，，.

對(duì)，考慮最末兩個(gè)類站中間的類站的個(gè)數(shù).若，則分類種數(shù)為；若，則分類種數(shù)為；若，則與其相鄰站為類，分類種數(shù)為.

故.②

設(shè).③

則

④

由結(jié)論①和式②得.則，.

由式④知為第個(gè)斐波那契數(shù)，即.

由式③得，

，

.

其次，計(jì)算第站的分類種數(shù).

若為類，則相應(yīng)分類種數(shù)為.

若為類，則、為類，2為類.

如果3為類，則相應(yīng)分類種數(shù)為；

如果3為類，則4為類，相應(yīng)分類種數(shù)為.

故.

最后，求.

.

由 .

故

.