Question

【題目】已知橢圓上任一點(diǎn)到，的距離之和為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn),與交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)，證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可得,,a=2,則b2=a2﹣c2=2,即可求得橢圓方程;

(2)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及直線的斜率公式化簡可得m=﹣2k﹣4,再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,即可判斷直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4).

(1)由橢圓定義知,,,

所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

(2)直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4),理由如下:

若直線斜率不存在,則,不合題意.

故可設(shè)直線方程:,

聯(lián)立方程組,代入消元并整理得:,

則,.

,將直線方程代入,

整理得:,

即,

韋達(dá)定理代入上式化簡得:,

因?yàn)?/span>不過點(diǎn),所以,

所以,即,

所以直線方程為,即,

所以直線過定點(diǎn).