Question

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，）

（1）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合，

（2）已知正數(shù)滿足：存在，使不等式成立.

①求的取值集合；

②試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意知，可知，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值；

（2）①由題意可知，存在使得不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值集合；

②構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出與的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.

（1），則且，

由于對任意，不等式恒成立，即，.

當(dāng)時(shí)，對任意，，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，無最小值，不合乎題意；

當(dāng)時(shí)，令，得.

若，則；若，則.

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，所以，，因此，；

（2）①由題意知，存在使得不等式，則，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

對任意的恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.

因此，實(shí)數(shù)的取值集合為；

②構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，則；

當(dāng)時(shí)，則，即，即，則.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，.