Question

【題目】已知拋物線，點(diǎn).

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線與軸的交點(diǎn)為，連接，并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，求證：；

（3）將拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭�，得拋物線，若時(shí)，恒成立，求得最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）8.

【解析】

（1）配方后可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)，求出后可證結(jié)論成立；

（3）令，求得其與的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得解析式，再求得另一交點(diǎn)坐標(biāo)即可得．

（1），∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）在中令得，所以，此時(shí)直線方程為，

由，解得或，所以，

∴，

所以；

（3）如圖所示，設(shè)，設(shè)其與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，根據(jù)題意要使最大，也盡可能的大，因此，則，將代入拋物線方程得，解得，（舍去），∴，令，解得，，故的最大值是8.