Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性的討論，分析函數(shù)極值的正負(fù)，以及極限的思想，確定零點的個數(shù).

解：（1）由題，

（i）當(dāng)時，，

時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時，

時，，

，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，，

，函數(shù)單調(diào)遞減，

時，，

，函數(shù)單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時，恒成立，

函數(shù)單調(diào)遞增；

（iv）當(dāng)時，

時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

（2）（i）當(dāng)時，有唯一零點

，不符合題意；

由（1）知：

（ii）當(dāng)時，單調(diào)遞增，

時，；時，；

則僅有唯一零點，不符合題意；

（iii）當(dāng)時，

時，函數(shù)單調(diào)遞減，

時，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，；時，，

必有兩個零點；

（iv）當(dāng)，

時，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，函數(shù)單調(diào)遞減，

時，函數(shù)單調(diào)遞增，

，

，

函數(shù)至多有一個零點；

（v）同理可知，時，函數(shù)至多有一個零點.

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.