Question

（09年山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷三文）（14分）

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)Q₁.Q₂為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段Q₁Q₂為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線Q₁Q₂的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程。

Answer 1

解析：（I）由題設(shè)，及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，于點(diǎn)A 在橢圓上，有，即，解得，得

直線AF₁的方程為，整理得

由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為，即

將代入上式并化簡(jiǎn)得，得

（II）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為

或，其中，

點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得

整理得

于是

由①式得

由知，將③式和④式代入得

將代入上式，整理得當(dāng)時(shí)，直線的方程為的坐標(biāo)滿足方程組，

所以，由知，即，解得，這時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)仍滿足

綜上，點(diǎn)D的軌跡方程為