Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三個頂點，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設橢圓的上下頂點為，，左焦點為，則是正三角形，可得，進而將代入橢圓方程，可求出的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，并消去得到關于的一元二次方程，設，，由以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得，將其展開并結合韋達定理，可求得，即直線恒過點，進而，結合韋達定理，求出最大值即可.

（1）根據題意，設橢圓的上下頂點為，，左焦點為，

則是正三角形，所以，則橢圓方程為.

將代入橢圓方程，可得，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）由題意，設直線的方程為，

聯(lián)立，消去得.

設，，則有，，

因為以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，所以，

由，，則，

將，代入上式并整理得，

則，化簡得，

解得或，

因為直線不過點，所以，故.

所以直線恒過點.

故，

設，則在上單調遞增，

當時，，

所以面積的最大值為.