Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】(1)見詳解；（2）見詳解.

【解析】

（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點(diǎn)，D是棱AB的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可證OD∥BC1，根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．

（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥AA1，根據(jù)AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據(jù)線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BC1⊥A1C．

（1）連接AC1，設(shè)AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，

所以：O為AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)椋篋是棱AB的中點(diǎn)，所以：OD∥BC1，

又因?yàn)椋築C1平面A1CD，OD平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．

（2）由（1）可知：側(cè)面ACC1A1是平行四邊形，因?yàn)椋篈C＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，

所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因?yàn)椋篈B平面ABC，所以：AB⊥AA1，

又因?yàn)椋篈B⊥AC，AC∩AA1＝A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

所以：AB⊥平面ACC1A1，因?yàn)椋篈1C平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，

又因?yàn)椋篈C1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，

因?yàn)椋築C1平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．